درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

نمودارهای توابع نمایی و لگاریتمی

در درس اول و دوم با نمودار توابع‌نمایی و لگاریتمی آشنا شدیم. نمودار این توابع را می‌توان با استفاده از قوانینی که قبلاً فرا گرفته‌ایم، انتقال دهیم.

با توجه به آنچه که در مبحث انتقال توابع گفته شد، فعالیت زیر را انجام دهید.

کاربرد توابع نمایی و لگاریتمی

تابع نمایی:

در حالت کلی یک تابع به‌صورت $(a\ne 1\,,\,a\gt 0)\,\,h(x)=k{{a}^{x}}$ رفتار نمایی دارد که در بسیاری از مسائل اقتصادی، طبیعی و مهندسی و… ظاهر می‌شود.

مثال: اشریشیاکلی (Escherichia coli) یا به‌طور اختصار E.coli نوعی باکتری است که به‌طور طبیعی در دستگاه گوارش زندگی می‌کند و تکثیر آن به‌صورت نمایی است. عوامل مختلفی مانند زیاد شدن آن باعث بیماری می‌شود. نوع خاصی از این بیماری با 100 باکتری شروع می‌شود و هر باکتری در مدت نیم ساعت به دو قسمت تقسیم می‌شود. اندازهٔ هر توده باکتری بعد از $t$ ساعت از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

$p(t)=100\times {{2}^{2t}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(0\le t\le 16)$

با فرض اینکه هیچ کدام از باکتری‌ها از بین نروند، تعداد باکتری‌ها در یک توده پس از 3 ساعت برابر است با:

$p(3)=100\times {{2}^{6}}=6400$

تابع لگاریتمی:

ریشتر، مقیاسی برای اندازه‌گیری بزرگی زمین‌لرزه است که میزان انرژی آزاد شده در زلزله را نشان می‌دهد. اگر بزرگی زلزله‌ای برابر $M$ در مقیاس ریشتر باشد، انرژی آزاد شدهٔ آن زلزله برابر $E$ در واحد ارگ $(Erg)$ است که از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

$\log E=11/8+1/5M$

انرژی یک زلزلهٔ 8 ریشتری تقریباً برابر با انرژی انفجار یک میلیارد تن مادهٔ انفجاری $TNT$ است.

مثال: روز پنجم دی ماه 1382 زلزله‌ای به شدت 6/6 ریشتر، شهر بم و مناطق اطراف آن را در شرق استان کرمان لرزاند. مقدار انرژی آزاد شده در این زلزله چقدر بوده است؟

$\log E=11/8+1/5M\to $
$\log E=11/8+1/5(6/6)$
$\to \log E=21/7\to E={{10}^{21/7}}Erg$